A pesar de vivir en un mundo tridimensional, muchas veces la manera en la que interactuamos con objetos a nuestro alrededor es únicamente mediante la parte exterior o superficial de los mismos. Ésta puede ser una motivación muy sencilla para comenzar a preocuparnos por entender superficies.
En términos sencillos, una superficie es un objeto tal que al tomar cualquier pedazo suficientemente pequeño de ésta se mira como un plano; ¿qué significa esto? Si tomas cualquier punto en el objeto y te fijas alrededor de éste, se mira como un disco (un círculo relleno). Un ejemplo de superficie es la parte exterior de un objeto, ya sea un teléfono, un vaso, una botella, etcétera. Como podrás imaginar, ésto hace que nuestros ejemplos de superficies sean demasiados.
Para deshacernos del problema de tener demasiadas superficies a estudiar se define una equivalencia entre ellas llamada homeomorfismo. No daremos una explicación de qué es lo que esto significa de manera rigurosa sino la intuición detrás de ésto: imaginemos que nuestras superficies están hechas de plastilina; entonces, un homeomorfismo es todo lo que le podemos hacer a éstas sin romperlas. Por ejemplo, estirarlas, encogerlas, hacerlas más grandes de un lado, darle una vuelta, etcétera. Unos de los ejemplos más clásicos es que la superficie de una dona es equivalente a la de una taza; pero también puedes ver que la superficie de un cubo es equivalente a la de una pelota, un vaso y una almohada.
Algunos ejemplos de superficies se encuentran en la Figura 1, la cual muestra cómo construirlos a partir de un pedazo del plano y cómo es que se miran al identificar los lados marcados. Estos ejemplos son conocidos como la esfera, el toro y el plano proyectivo; suelen ser los casos más sencillos a estudiar y su importancia radica en que cualquier superficie puede formarse a partir de éstas, pues el Teorema de Clasificación de Superficies establece que cualquier superficie (compacta, cerrada, sin componentes de frontera ni ponchaduras) es homeomorfa a la suma conexa de esferas, toros y planos proyectivos.
¿Qué es la suma conexa de dos superficies? Es una operación entre dos superficies dada por elegir un disco en cada una de éstas, eliminarlos y pegar las fronteras de estos discos; obteniendo una nueva superficie. Además, si consideramos superficies que se encuentren dadas por hacer una cantidad finita de sumas conexas de esferas, toros y planos proyectivos, el que éstas sean equivalentes depende únicamente de cuántas de cada una de éstas estés considerando.
Ésto nos da una primera idea de cómo pudiésemos ver una superficie como un rompecabezas; sin embargo, queremos que las piezas que utilicemos en cada uno de estos rompecabezas sean iguales. Ésto nos invita a pensar en una “pieza” que podamos encontrar en cualquier superficie suficientemente complicada (es decir, una superficie diferente a la esfera, el toro, el plano proyectivo y la suma conexa de dos planos proyectivos). Es aquí donde aparece lo que se conoce como un pantalón; esto es el resultado de remover 3 discos disjuntos de una esfera, y obtiene su nombre del hecho de que si lo pensamos como si estuviese hecho de plastilina, podemos deformarlo para que tenga la forma de un pantalón.
Para entender cómo ver a una superficie como un rompecabezas de pantalones primero es necesario hablar de curvas en nuestra superficie. Llamaremos curva a una curva cerrada sobre la superficie que cumple ser simple (es decir, no se autointersecta) que no acota un disco ni una banda de Möbius. Decimos que una colección de curvas sobre una superficie es una descomposición en pantalones de ésta si al quitarlas obtenemos una colección disjunta de pantalones; esto nos da la idea de armar a nuestra superficie como un rompecabezas de pantalones.
La utilidad de ésto es partir nuestra superficie en pedazos que son más sencillos de estudiar. Si nuestra superficie proviene de una suma conexa de toros y esferas (a esto se le llama una superficie orientable), el número de curvas que se necesita en una descomposición en pantalones es siempre el mismo. Si este no es el caso (nuestra superficie se dice no orientable) dicho número puede variar.
Esto resalta una de las diferencias entre superficies no orientables y orientables. Las últimas han sido significativamente más estudiadas que las primeras; sin embargo, en los últimos años ha habido mayor interés en el caso no orientable. Se espera que esta nota, además de brindar información, sirva como una invitación al lector a interesarse por las superficies no orientables y las diferencias que tienen con las orientables.
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