...que no se puede encontrarle la cuadratura al círculo?

Por: Daniel Pellicer Centro de Ciencias Matemáticas

Cuando tratamos de decirle a alguien que lo que pretende hacer es muy complicado, o incluso imposible, solemos decir "estás tratando de encontrarle la cuadratura al círculo". El problema de encontrar la cuadratura al círculo tiene su origen en los griegos de la antigüedad, pero fue finalmente resuelto hace apenas un par de siglos.

La respuesta de si es posible encontrarle la cuadratura al círculo depende de la formulación precisa del problema.

El problema original es el siguiente. Dado un círculo dibujado en una hoja queremos trazar un cuadrado cuya área coincida con el área del círculo, pero sólo estamos autorizados a usar la versión de regla y compás de los antiguos griegos. Los principios con los que trabajaban son: dados dos puntos se puede trazar (con una regla) el segmento de recta entre ellos; dado un segmento de recta, éste se puede extender haciéndolo tan grande como queramos (una vez más, con una regla); y dados dos puntos, se puede trazar el círculo con centro en un punto y con radio igual a la distancia entre los dos puntos (con un compás). En otras palabras, las reglas que permitían usar los griegos son reglas gigantescas, pero no están graduadas.

Para construir un cuadrado usando sólo regla y compás, basta conocer la medida de uno de sus lados. Después se usan procedimientos sencillos para obtener la recta perpendicular a una recta dada en un punto -el vértice del cuadrado- y para tomar de esa recta sólo el segmento de la longitud deseada. El problema está, entonces, en encontrar la longitud del lado del cuadrado cuya área es igual al área de un círculo de radio dado.

Problemas similares, como trazar un cuadrado cuya área sea igual a la de un triángulo equilátero dado, son relativamente sencillos de resolver. Sin embargo, a lo largo de más de 20 siglos, no se pudo hallar un procedimiento que encontrara la cuadratura al círculo, o un argumento que probara que ésta es imposible. Lo único claro era que, en caso de existir, tal procedimiento debía ser muy complicado.

Hoy en día, estudiantes de secundaria fácilmente pueden decir que si el círculo tiene radio r, entonces tiene área pr²; y que un cuadrado de tal área, debe tener lados de longitud p Ör. El problema de encontrarle la cuadratura al círculo se convierte entonces en el problema siguiente: dado un segmento de longitud r, encontrar otro de longitud p Ör.

Si el problema fuera duplicar, triplicar o cuadruplicar un segmento, sería realmente sencillo. No es difícil probar que dividir un segmento en partes iguales es también posible, sin importar el número de partes en que se divide. Como consecuencia, si Ör fuera un número racional, se podría encontrar la cuadratura al círculo. Incluso es posible encontrar múltiplos de segmentos por algunos números que no son racionales como Ö2 sólo con la versión de regla y compás de los griegos antiguos. Eso para muchos fue indicio de que debía existir un procedimiento para encontrarle la cuadratura al círculo.

En el siglo XIX, Évariste Galois desarrolló una teoría de ciertos objetos algebraicos llamados campos, que a primera vista no parecen tener nada que ver con el problema de la cuadratura del círculo. Sin embargo, para sorpresa de propios y extraños, con esa teoría se probó que, con las restricciones descritas anteriormente, no es posible encontrarle la cuadratura al círculo. Es decir, dado un segmento de longitud r, no es posible construir otro segmento cuya longitud sea r Öp sólo usando regla y compás. La demostración no es sencilla, pero un estudiante en los últimos semestres de la licenciatura en matemáticas o física puede entenderla.

El problema de encontrarle la cuadratura al círculo es equivalente a algunos otros problemas, es decir, la solución de uno implica la de cualquiera de los demás. Un ejemplo de estos problemas dice: dado un círculo, encontrar un cuadrado cuyo perímetro coincide con el del círculo. Si nos alejamos de las restricciones que impusieron al problema los griegos, este último problema puede tener solución. Por ejemplo, si nos dieran un círculo hecho de estambre y nos pidieran formar un cuadrado con el mismo estambre (es decir, con perímetro idéntico al del círculo original), por métodos sencillos se pueden determinar cuatro puntos en el estambre que correspondan a los vértices del cuadrado deseado, y después determinar los ángulos de 90 grados entre segmentos consecutivos. Se reta al lector interesado a describir un método para colocar 4 clavos en la pared con los cuales sujetar el estambre (originalmente en forma de círculo) en forma de cuadrado, sólo usando lápiz, el estambre, 4 clavos y un martillo.