que mis amigos son más populares que yo?   Por: Edgardo Roldán Pensado Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM-Morelia       Claro, es imposible que la respuesta sea la misma para toda la gente. Sin embargo, la respuesta es la misma para tres de cada cuatro personas. Esto tiene base en una propiedad matemática que explicamos a continuación. Resulta que para la mayoría de las personas, su popularidad es más baja que la popularidad promedio de sus amigos. Para explicar lo que queremos decir, comencemos por establecer exactamente qué queremos decir con popularidad. Ésta se puede definir como el número de amigos que una persona tiene. Aquí es importante mencionar que estamos asumiendo que la amistad es simétrica, es decir, si Alma es amiga de Beto entonces Beto también es amigo de Alma. Ahora sí, podemos precisar lo que quieren decir la pregunta original y su respuesta: La mayoría de las personas tienen menos amigos que los que tienen sus amigos en promedio. Pero, ¿cómo podemos afirmar esto con tanta seguridad? En 1991 el sociólogo Scott L. Feld publicó un artículo en el American Journal of Sociology titulado Why your friends have more friends than you do ("Por qué tus amigos tienen más amigos que tú"), el cual contenía un estudio acerca de un grupo de personas en el que se concluyó que 74% de ellas era menos popular que el promedio de sus amigos. Feld se dio cuenta de que este es un hecho universal y no un fenómeno exclusivo del grupo de personas que estudió. Esto es porque tiene un fundamento matemático detrás. Para describir este resultado se necesitan definir dos números a los que llamaremos A y B. El número A es simplemente el número promedio de amigos que tienen las personas. El número B es un poco más complicado de definir, pero se puede interpretar como el número de amigos promedio que tiene el amigo de alguien. Para calcular B elegimos al azar a una persona y a uno de sus amigos; digamos que la persona con la que empezamos se llama Carlos, y que su amigo se llama Diego. Lo que nos importa es el número de amigos que tiene Diego, el número B es el número promedio de amigos que tiene alguien como Diego (que es el amigo de una persona al azar). A primera vista parece que no hay mucha diferencia entre A y B. Sin embargo, el resultado matemático que demostró Feld es que B es mayor que A. Esto implica que lo más probable es que una persona elegida al azar tenga menos amigos que sus amigos en promedio. Claro, esto no es cierto para absolutamente todas las personas. El área de las matemáticas que estudia problemas como este se llama teoría de grafos (algunas personas, sobre todo en México, la llaman teoría de gráficas). Un grafo es una colección de objetos llamados vértices, que se suelen representar con puntos, y que pueden estar relacionados con otros vértices. Si dos vértices están relacionados se puede dibujar una línea que los conecta y se dice que estos vértices están unidos por una arista. En lo que se discutió arriba, los vértices representan a las personas y la amistad es representada por aristas. La ventaja que tiene abstraer el problema y llevarlo a la teoría de grafos es que nos damos cuenta de que podemos usar otra relación en vez de la amistad y observar el mismo fenómeno. Para que funcione se requiere que la nueva relación sea simétrica, pero hay otras cosas que también se deben pedir. Por ejemplo si la relación que elegimos es la de matrimonio, al menos en México, no ocurre el mismo fenómeno. Esto se debe a dos cosas, la primera es que todas las personas casadas están casadas con el mismo número de personas. La segunda es que entre dos personas casi nunca hay una cadena de matrimonios que los une. Estos dos enunciados suenan chistosos cuando se tratan de matrimonio, pero tienen mucho sentido cuando se habla de amistad, por ejemplo. Algunas relaciones con las que se cumple lo anterior son, por ejemplo: ser amigos en Facebook, haber coautorado alguna publicación, ser primos, ser pareja sexual, etcétera. De esta manera, el resultado de Feld se traduce en que cada una de las siguientes afirmaciones es cierta para la mayoría de la gente: -Tus amigos de Facebook, en promedio tienen más amigos que tú. -En promedio, tus coautores han publicado con más gente que tú. -Tus primos tienen más primos en promedio que tú. -Tus parejas sexuales han tenido más parejas sexuales que tú en promedio.

Paradoja de la amistad. Fuente: Wikipedia