que los matemáticos compran tazas en panaderías?
Dr. Jesús Hernández Hernández
Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM
Sí, pero no de la forma en la que uno lo piensa normalmente. Para poder entender a qué nos referimos con esto necesitamos primero conocer el concepto de una superficie.
Para un matemático una superficie tiene una definición muy precisa, pero la mejor forma de visualizarla es pensar en un objeto con área, pero sin volumen (con largo y alto, pero sin ancho), y que si fuéramos un microbio parados en este objeto, lo veríamos "plano" (así como nos sucede a nosotros en nuestro planeta). Ejemplos de superficies en la vida diaria serían pelotas, la parte exterior de una dona, o de un huevo, o de una taza (y en general la parte exterior de cualquier objeto "liso"), un colador de pasta, la banda de Möbius que se encuentra en el Paseo de las Ciencias del campus, etcétera.
Ahora bien, dos de los pasatiempos favoritos de los matemáticos dada una definición son preguntarse lo siguiente:
1. Si tengo dos objetos que cumplan la definición, cómo obtener un tercero.
2. Ver si se pueden clasificar todos los objetos que cumplan con dicha definición.
En el contexto de superficies, una respuesta para la primera pregunta es el proceso llamado suma conexa de superficies. Este proceso consiste en dibujar un disco en cada superficie, eliminar el relleno del disco, y pegar ambas superficies a lo largo del hueco que se formó. Una forma de visualizar esto es pensar en lo que sucede cuando un panadero pone dos donas en la bandeja demasiado pegadas antes de meterlas al horno; en el horno las donas se van a inflar, y al estar demasiado pegadas terminarán pegándose dejando al panadero con una dona "doble". El proceso de suma conexa de superficies puede hacerse tantas veces uno quiera y en el orden que sea.
Por otro lado, la segunda pregunta en el contexto de superficies se transforma en ¿pueden clasificarse las superficies? La respuesta a esto es sí, pero para poder explicarlo primero entendamos (aunque sea coloquialmente) dos conceptos importantes: superficies compactas y superficies orientables.
Una forma de visualizar a lo que nos referimos por superficies compactas sería superficies sin agujeros (es decir, superficies que no tienen hoyos). De los ejemplos de arriba, todos salvo el colador contarían como superficies compactas.
Para pensar en una superficie orientable, lo más fácil es visualizar una superficie en donde se tenga bien definido un adentro y un afuera; esto quiere decir que, si me paro en la superficie y empiezo a caminar, no hay forma de llegar al mismo punto en la superficie pero parado del otro lado. De los ejemplos de arriba, la banda de Möbius no es orientable.
Figura 1: Banda de Möbius II de M.C. Escher. Muestra el camino de una hormiga empezando en un punto y un lado, y terminando en el mismo punto, pero del otro lado. Fuente: https://blogmathconcepblog.wordpress.com
Ahora sí, con estos conceptos a la mano, podemos formular el Teorema de clasificación de superficies para superficies compactas y orientables:
Toda superficie compacta y orientable puede deformarse continuamente (sin cortar y pegar) en una, y sólo una, de las siguientes superficies: una esfera, un toro (la parte exterior de una dona), o una suma conexa de g toros (con g ≥ 2).
Este resultado nos permite definir para superficies compactas y orientables el concepto de género. Éste se define como 0 para superficies que se puedan deformar continuamente a la esfera, 1 para las que se deformen continuamente en el toro, y g para las que se deforman continuamente en la suma conexa de g toros.
Figura 2: Deformación continua de la taza a la dona. Imagen: Cortesía Jesús hernández.