que las co-razonadas no se utilizan en las matemáticas?  Por:  Dr. Eric Pérez Contreras Centro de Ciencias Matemáticas. UNAM Campus Morelia.        

El uso de la razón no está tan lejos del corazón como el lector pudiera pensar. Piense por ejemplo en la clásica escena romántica en la que dos amantes corren desesperadamente el uno hacia el otro para encontrarse tras un largo período de ausencia. Nuestra noción de cercanía se desarrolla a edades tempranas de la mano con nuestros sentidos. Escuchamos la voz de nuestra madre que nos llama, el sonido de una ambulancia que pasa, ensordeciéndonos y luego apagándose, creando el famoso Efecto Doppler, que consiste en el cambio de tonalidad producto del acortamiento de una frecuencia sonora al alargarse la longitud de onda.

Vivencias como estas y muchos otros ejemplos nos ayudan a desarrollar un agudo sentido de percepción espacial. La mayoría de las veces sin necesidad de rigurosos estudios acerca de la materia, el sonido y el espacio que nos rodea. Ya en el ámbito académico, nuestro aprendizaje de las matemáticas hace que todas estas percepciones se sigan desarrollando ahora con un componente importante: la capacidad de abstracción. Lo ideal sería que el desarrollo de esta capacidad no se desprendiera del todo de nuestras nociones intuitivas. Lo cierto es que cuando se separan, podemos caer en trampas como la siguiente. Compare el lector las siguientes dos figuras:

Dos acomodos distintos de las piezas de un rompecabezas muestran una aparente contradicción espacial.

 

 

La figura de la izquierda muestra el acomodo de cuatro piezas planas. En la figura de la derecha las mismas cuatro piezas se han reacomodado de una manera especial y ¿hemos perdido espacio? Tiempo y espacio son recursos naturales de los que disponemos en una medida muy limitada (también el dinero, pero es de distinta naturaleza). Qué terrible sería que se nos engañe tan fácilmente y terminemos perdiendo un tanto de ellos. Piense el lector en una posible explicación de esta aparente paradoja espacial. Como éste existen cientos de ejemplos en los que nuestra percepción se altera orillándonos a saltar a conclusiones absurdas. Pero estamos aquí para ganar, así que en los siguientes párrafos iremos en busca de ejemplos en los que la razón, junto con una buena corazonada, nos pueden llevar a resolver un problema, aparentemente difícil en un principio.

La magia de hacer reacomodos. Ésta es una estrategia muy socorrida y poco reconocida dentro del folklore matemático. La idea es considerar las partes que componen un objeto y reordenarlas de tal manera que simplifiquemos el trabajo y obtengamos lo que buscamos. Por ejemplo, un reacomodo de cuatro triángulos rectángulos congruentes nos proporciona una prueba intuitiva del famoso y nunca bien entendido Teorema de Pitágoras:

 

a² + b²  =  c²

 

Para ver que esto es cierto consideremos un triángulo rectángulo cualquiera, de catetos a y b, e hipotenusa c:

 

Construyamos dos cuadrados de lado a + b, como se muestra. 

 

¿Puede el lector imaginar una prueba intuitiva del Teorema? (Sugerencia: Calcule las áreas achuradas y después compárelas.)

Otro ejemplo de reacomodo podría ser:

Realizar una rotación. En algunos problemas resulta conveniente la rotación de una figura un cierto ángulo para observar una congruencia o semejanza o para poder aplicar alguna propiedad esencial.  Piense el lector en el siguiente problema:

En la figura se muestra un círculo y dos cuadrados, uno grande (excrito) y uno chico (inscrito) ¿Qué fracción del área del cuadrado grande representa el área del cuadrado chico? 

 

Antes de leer la solución aconsejamos al lector pensar en su propia estrategia para resolverlo.

 

Solución: ¿Qué pasa si giramos el cuadrado inscrito?

 

 

Al girar el cuadrado inscrito, no cambian las condiciones del problema y la solución emerge: ¡la fracción es 1/2! 

Establecer una simetría.  En geometría resulta bastante útil recurrir al simétrico de un punto o de una recta, figura, etc., respecto a otro punto o recta para encontrar pistas sobre el comportamiento de alguna situación. En el Cálculo, considerar el comportamiento simétrico de algunas funciones resulta útil para resolver problemas.

¿Cuál es la mejor manera de atacar un problema matemático? ¿Podemos priorizar una estrategia sobre otra? Todos tenemos una forma de pensar predilecta: algunas personas son muy visuales, otras prefieren el rigor del análisis con derivadas e integrales, y hay quienes prefieren pensar de manera estadística. Lo cierto es que independientemente de la manera en que resolvamos un problema, la mejor es aquella que nos hace más sentido y por tanto la que mayores frutos dará a la hora de emprender proyectos científicos de investigación. Consideremos la siguiente situación y, de nuevo, intente el lector pensar en una estrategia a usar antes de continuar leyendo.

Si l es un río rectilíneo y de un mismo lado de l se encuentran un bombero en B y una casa quemándose en C, ¿Cuál es el mejor camino para que el bombero vaya por agua al río y luego a la casa para apagar el fuego?

 

¿Cuál es la incógnita? – La ubicación de un punto Psobre la recta l, de manera que BP + PC sea mínimo. Vamos a introducir un elemento auxiliar. Sea C’ el simétrico de C respecto a l, y tracemos BC’ que cruza a l en P. Veamos que P es el punto buscado. Si trazamos PC se forma el triángulo PCD, el cual es congruente con el triángulo PC’D por el criterio de congruencia LAL (lado ángulo lado) y entonces se tiene quePC= PC’. 

 

 

Ahora, BC’ = BP + PC y si M es cualquier otro punto de l, al trazar BM y MC’ se forma el triángulo BC’M, y por el Teorema de la desigualdad del triángulo [1], BC’ < BM + MC. Por tanto, en efecto, P es el punto que minimiza el recorrido del bombero.