...que la comprobación de la multiplicación que nos enseñan en primaria verifica si cometimos algún error?
Por Daniel Pellicer Centro de Ciencias Matemáticas
Durante nuestra estancia en la escuela primaria se nos sugiere una manera para verificar si hicimos bien una multiplicación a mano. Supongamos que queremos multiplicar 285 × 336 y obtenemos como resultado 95760. El procedimiento para comprobar que nuestro resultado es acertado es el siguiente: Normal,
Colocar una “X” grande.
• Sumar los dígitos de 285 y colocar el resultado (un sólo dígito) en la parte superior de la “X”.
• Sumar los dígitos de 336 y colocar el resultado en la parte inferior de la “X”.
• Multiplicar los dígitos obtenidos en los incisos anteriores, sumar los dígitos del número obtenido y colocar el resultado en la parte izquierda de la “X”.
• Sumar los dígitos de 95760 y colocar el resultado en la parte derecha de la “X”.
• Si las partes izquierda y derecha de la “X” coinciden es que hicimos bien la multiplicación.
Siguiendo este procedimiento con nuestra multiplicación, en la parte superior de la “X” debemos colocar 2 + 8 + 5 = 15, pero como requerimos un sólo dígito sumamos los dígitos del resultado 1 + 5 = 6. Para encontrar el número que irá en la parte inferior debemos sumar 3+3+6 = 12 y 1+2 = 3.
Después multiplicamos 6 × 3 = 18 y sumamos sus dígitos 1 + 8 = 9, por lo que 9 debe ser escrito a la izquierda de la “X”. Sumamos 9+5+7+6+0 = 27 y 2 + 7 = 9, y colocamos este ´ultimo dígito del lado derecho de la “X”. Finalmente verificamos que tanto a la derecha como a la izquierda de la “X” tenemos un 9 y concluimos que hemos realizado la multiplicación de manera correcta (ver dibujo).
En caso de que el resultado de la multiplicación sea correcto, la comprobación invariablemente mostrará iguales partes izquierda y derecha de la “X”. Esta afirmación se basa en un conocido resultado que dice que si sumamos los dígitos de un número, el resultado será el residuo de dicho número al dividir entre 9. Si tomamos en cuenta que cuando multiplicamos dos números, el residuo del resultado al dividir entre 9 es igual a la multiplicación de los residuos de los factores (resultado sencillo de verificar), uno se puede convencer rápidamente de que si no cometimos errores en la multiplicación, la comprobación nos dirá que, en efecto, nuestra multiplicación estuvo bien hecha.
Por otro lado, si nos equivocamos en la multiplicación, la mayoría de las veces la comprobación nos dirá que hubo un error, pero hay un riesgo pequeño de que, a pesar de todo, la comprobación nos sugiera que el resultado es correcto. En nuestro ejemplo anterior, si hubiéramos dado como resultado 21006, los números que hubiéramos colocado en la “X” de la comprobación no se alterarían pues 2+1+0+0+6 = 9, sin embargo es claro que el resultado es incorrecto. Lo que la comprobación nos está diciendo es que 21006 deja el mismo residuo al dividirlo entre 9, que la solución real de 285 × 336.
Si efectuamos la multiplicación 285 x 336 con un nivel medio de concentración, con toda seguridad no vamos a obtener el número 21006, pues difiere mucho del resultado real. Frecuentemente, cuando nos equivocamos en una multiplicación, nuestro resultado difiere en un dígito con el resultado correcto, y en estos casos la comprobación suele ser muy eficiente. Por ejemplo, si hubiéramos obtenido 94760 como resultado de 285 × 336, la “X” de la comprobación se vería como la del ejemplo excepto que en el lado derecho colocaríamos un 8 en vez de un 9 pues 9 + 4 + 7 + 6 + 0 = 26 y 2 + 6 = 8. De igual manera, si en vez de 95760 aumentamos en 1 alguna de las cifras, en el lado derecho de la “X” deberemos colocar un 0, indicándonos una vez más que el resultado es incorrecto.
Para que nuestro criterio de la comprobación no funcione, es necesario que hayamos obtenido un dígito 9 en vez de 0, un dígito 0 en vez de 9, o al menos dos dígitos incorrectos. Por ejemplo, la comprobación de la multiplicación 285 × 336 diría que 95769 y 95670 son soluciones correctas sin que lo sean realmente. Si pusimos un grado decente de atención, es difícil, pero no imposible, que como respuesta hayamos obtenido una de las dos anteriores y la comprobación no nos saque de nuestro error.
Moraleja. Al hacer multiplicaciones a mano, la comprobación no es un método infalible para verificar si nuestro resultado es cierto. Sin embargo, la comprobación es definitivamente un método eficaz para detectar si nos equivocamos sólo por un poco.
