que hay una cantidad infinita de números primos?

Por: Daniel Pellicer Covarrubias. Centro de Ciencias Matemáticas-UNAM

Los números primos son los bloques con los que están construidos los números naturales a través de la multiplicación. ¿Cuántos de estos bloques existen?

Formalmente, un número primo es un número natural mayor o igual a dos que sólo puede ser dividido entre 1 y entre sí mismo, o de lo contrario deja un residuo distinto de cero. Los primeros diez números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Otro dato relevante es que todo número natural se descompone de manera única como producto de números primos, con la convención de que cuando se multiplican cero números primos obtenemos como resultado al 1. Es en este sentido que los números primos son los bloques con los que se construye a los naturales por medio de la multiplicación.

Los antiguos griegos se hicieron varias preguntas acerca de los números primos. Una de ellas era si hay una cantidad finita de ellos. Esto implicaría que se puede construir a todos los naturales a partir de una colección finita de bloques distintos. Aproximadamente en el año 350 a. C. Euclides encontró la respuesta a esta interrogante dando un argumento que prueba que la cantidad de números primos no puede ser finita.

Para ver que existe una infinidad de números primos comúnmente se usa la técnica de reducción al absurdo. Es decir, se asume que hay una cantidad finita de números primos y se llega a una contradicción, indicando que es falso el supuesto de que el número de primos es finito.

La prueba consiste en multiplicar todos los números primos y sumar 1 al resultado. Se prueba entonces que el número obtenido no puede ser primo ni tampoco tiene en su descomposición a alguno de los números primos de la lista finita que habíamos considerado. Cada una de estas afirmaciones es de dificultad relativamente baja y se explican en cualquier libro de Álgebra Superior.

Es interesante que los griegos de la antigüedad hayan podido dar respuesta al problema de determinar si el conjunto de números primos es finito o infinito. Los argumentos que usaron pueden no ser intuitivos, pero tampoco son muy difíciles o avanzados complicados al grado de que esta prueba se explica en el primer año de la licenciatura en matemáticas. Esto motiva a no dejarnos desanimar cuando nos encontremos una pregunta que parezca requerir análisis muy especializados; es posible que la solución esté al alcance de nuestra mano.