El número ᴫ se define como el cociente del perímetro, P, entre el diámetro, D, de una circunferencia. Esto es, ᴫ = P/D. Existen muchas maneras de definir un número, una de ellas es mediante ecuaciones. Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, el número √2 se puede definir como una de las soluciones de la ecuación x2-2 = 0. En la siguiente gráfica, la intersección de la curva x2-2 y el eje horizontal representan precisamente los números √2 y √-2.
Lo anterior nos hace preguntar, ¿podré obtener a ᴫ como la solución de una ecuación polinomial con coeficientes racionales? De la definición anterior vemos que ᴫ es un número que podemos considerar como una constante universal. Esta constante matemática tiene un papel predominante en la naturaleza y en nuestras vidas cotidianas, por ejemplo, ¡se usa cada vez que hablamos por un teléfono celular para transformar las ondas vocales en datos!, para navegar, ᴫ aparece para calcular trayectorias de aviones o embarcaciones, pero ¿qué hace a ᴫ ᴫ tan especial?
Para comenzar, una expresión aproximada de ᴫ es 3:141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034…
Hasta la fecha se buscan aproximaciones cada vez más precisas, la última tiene ¡62.8 billones de dígitos! y sigue siendo una aproximación, aunque para muchas aplicaciones sean suficientes 16 dígitos. La expresión decimal de ᴫ no admite patrón alguno y es infinita, lo cual nos dice que ᴫ es un “número irracional, es decir, no se puede expresar como el cociente de dos números enteros”. Pero ¿y los polinomios?
Un polinomio con variable x es una expresión de la forma
donde a0; a1… an son números y an ≠ 0 y n es el grado de ƒ(x). El polinomio es racional si todos los ai son números racionales. Por ejemplo, ƒ(x) = 2 + x + 3x2 es de grado 2 y es racional mientras que ƒ(x) = ᴫ + x + x2 es de grado 2 pero no es racional ya que ᴫ no lo es. Un número ω es un cero del polinomio ƒ(x) si
Los números que se obtienen como ceros de polinomios racionales forman una colección vasta e interesante. De hecho, tomar ceros de polinomios es una forma de construir nuevos números, los cuales probablemente no serán racionales y son novedosos en muchos sentidos, incluso con polinomios sencillos. Veamos algunos ejemplos:
- En grado 1 un polinomio es de la forma ƒ(x) = a0 + a1x con a0; a1 números racionales y a1 ≠ 0. El cero de este polinomio es α = - a0/a1 y por lo tanto es racional.
- El polinomio ƒ(x) = x2 - 2 es racional y sus ceros son ±√2 que no son racionales. En general los polinomios de grado dos pueden tener ceros no racionales.
- El polinomio ƒ(x) = x2 + 1 es racional y sus ceros son ±i, donde i es el número complejo que satisface i2 = -1.
- En general para un polinomio ƒ(x) = a0 + a1x + a2x2 con a2 ≠ 0, de grado dos, tiene a lo más dos ceros distintos y los encontramos con la fórmula
Para polinomios de grado mayor el problema de encontrar sus raíces es extremadamente difícil y de mucha utilidad.
Con los ejemplos anteriores observamos que los polinomios racionales producen nuevos números: racionales, no racionales y complejos. Pero ᴫ es todavía más sofisticado: ¡no lo puedo obtener como cero de ningún polinomio racional de ningún grado! Este hecho fue demostrado por primera vez por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.
La ubicuidad de ᴫ, su sencilla definición y este hecho (entre muchos más) lo convierte en uno de los números más fascinantes de la naturaleza.