Imagina que eres el dueño de una pizzería y estás buscando nuevas maneras de cortar las rebanadas de tu flamante receta de pizza cuadrada. Aunque te gustaría cortarlas de maneras extravagantes, tienes que fijar algunas restricciones. La primera es que, las rebanadas deben ser todas iguales para no generar controversia entre los clientes que asisten en grupo a tu establecimiento. La segunda, por practicidad, es que dichas piezas sean polígonos convexos puesto que es más fácil cortarlas y servirlas en los platos. Un polígono es convexo si para cualesquiera dos puntos en él, el segmento que los une también se encuentra dentro del polígono.
Considerando dichas restricciones, es fácil notar que siempre puedes partir tu pizza en rectángulos iguales de manera vertical u horizontal. Más aún, si quieres cortar tu pizza en (a x b) rebanadas, también puedes cortar haciendo una cuadrícula (que es más bien rectangular) de a filas y b columnas. La pregunta que aparece naturalmente es ¿Podemos cortar en rebanadas que no sean rectangulares? La respuesta es afirmativa. Si quieres cortar en una cantidad par de rebanadas, puedes hacerlos con triángulos (de más de una forma). ¿Pero qué ocurre si quiero cortar en una cantidad impar?
Figura 1: Gráfica de la partición. Nótese que, dicha construcción es posible de realizar, aunque las piezas no sean iguales. Imagen: Gerardo L. Maldonado.
Sorprendentemente dicha pregunta ha probado ser más complicada. En primera instancia uno podría intentar jugar un poco con las posibles formas de la pieza para encontrar una partición como las que buscamos. Pero de intentarlo, el lector probablemente notará que esto no es una tarea sencilla. En el presente, pretendo mostrarle al lector una manera de mirar el problema. Imagina que tienes una pizza ya cortada en n piezas y dibujemos un punto asignado a cada pieza. Así, podemos dibujar un segmento entre dos puntos si sus respectivas piezas son adyacentes en el corte de las rebanadas. Esto sin considerar cuando dos piezas solo se tocan en una esquina. También podemos poner un punto por cada lado de la pizza y unirlo a los puntos de las piezas que tocan ese lado. Por último, unimos los puntos de cada lado a los puntos de los lados contiguos. El dibujo que resulta es la representación de una gráfica para esa partición. Fijada la partición de nuestra pizza, tal gráfica es única porque no importa como dibujemos; todos los puntos tienen los mismos vecinos de un dibujo a otro. Resulta que dichas gráficas tienen características que ponen un límite manejable a la cantidad de ejemplares diferentes que podemos obtener en función de n. Esto último resulta suficiente para que podamos calcular con la computadora todas las gráficas que podrían ser las resultantes de aplicar este proceso a una partición para n manejable. Dicho esto, podemos aplicar la siguiente estrategia basada en la pregunta ¿Cuáles de las gráficas calculadas corresponden a una partición de nuestra pizza?
Figura 2: Pizzas cortadas con cuadrados y triángulos respectivamente. Imagen: Gerardo L. Maldonado.
Para estas cantidades de piezas, podemos realizar un proceso de descarte añadiendo como filtros varias características geométricas que deben cumplir las gráficas para ser las correspondientes a un corte. Por ejemplo, un punto asignado a una pieza no puede estar unido solamente a 3 puntos correspondientes a los lados y a uno correspondiente a una pieza, puesto que, esta debe ser la gráfica de una partición en rectángulos (las cuales queremos descartar). Así como esta, podemos considerar bastantes otras para filtrar. También a las que sobrevivan dichos filtros, podemos aplicar una búsqueda en profundidad revisando de qué manera pueden estar encajadas las piezas en el cuadrado (el molde la pizza).
Aplicando dicha estrategia resulta que ninguna gráfica pasó los filtros que fijamos para n impar y menor o igual a 9. Lo cual significa que no es posible partir un cuadrado en
rebanadas iguales que no sean rectángulos. Cabe destacar la complejidad del problema, ya que para n igual a 11 la cantidad de gráficas a revisar es enorme.
Pero hay otra manera de atacar el problema ¿Qué cantidad de lados puede tener el polígono en el que estamos cortando? En 1968 y 1970 los matemáticos estadounidenses John Thomas y Paul Monsky respectivamente, demostraron de manera independiente que: Si pudiéramos cortar en una cantidad impar de piezas, estas no pueden ser triángulos. De hecho, demostraron que no es posible hacerlo con triángulos con la misma área. Siguiendo por este camino, en 2020 los matemáticos chinos Hui Rao, Lei Ren y Yang Wang demostraron que no es posible cortar con una pieza que tenga 6 o más lados. Más aún, demostraron que no es posible partir, si las piezas son trapecios rectos.Dados estos resultados, los casos que aún quedan por resolver son cuando queremos cortar en 11 o más piezas y solo habría que revisar cuadriláteros (sin considerar trapecios rectos ni rectángulos) y pentágonos. La conjetura original es que en ninguno de estos casos es posible realizar dicha partición, pero ¿Y si no es el caso? Estaríamos no solo ante un ejemplo increíble, además estaríamos ante la nueva sensación de la presentación culinaria.
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