...que hay números infinitos más grandes que otros?

Por Ernesto Vallejo Unidad Morelia, Instituto de Matemáticas, UNAM

Todos nos divertimos alguna vez de niños con el juego de las sillas, bueno casi todos ... El juego inicia con tantas sillas como participantes. Las sillas están acomodadas en el centro del salón y cada participante ocupa una de ellas, de manera ninguna queda vacía. Comienza la música y todos los niños se paran y empiezan a correr alrededor del grupo de sillas. El conductor del juego quita una de ellas, de manera que ahora el número de niños excede en uno al número de sillas. Al momento en que el conductor apaga la música todos deben sentarse en una silla, bueno todos menos uno, pues hay una silla menos. El participante que no alcanza silla sale del juego y así éste continúa hasta que queda una silla y un participante: el ganador.

Este juego contiene una idea muy sencilla: para saber si dos conjuntos de objetos tienen el mismo número de elementos no necesitamos contar el número de objetos en cada conjunto, ni siquiera nece­sitamos saber contar. Lo que necesitamos es hacer corresponder a cada elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto, de manera que todos los elementos del segundo conjunto correspondan a un elemento del primer conjunto. Cuando establecemos una relación de este tipo entre los elementos de dos conjuntos decimos que ellos están en correspondencia uno a uno. En el caso del juego de las sillas los dos conjuntos son el de las sillas y el de los niños. Cuando cada niña o niño se ha sentado en una silla, de manera que dos de ellos no estén amontonados en una silla y no haya sillas vacías, se ha establecido una correspondencia uno a uno entre los conjuntos de sillas y de niños.

¿Podemos extender esta idea a conjuntos infinitos? ¿Podemos decir que dos conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos si existe una correspondencia uno a uno entre sus elementos? Desde al menos el siglo IV a.C. hasta el siglo XIX matemáticos y filósofos intentaron comprender diversos aspectos del infinito. Todos, incluyendo mentes del calibre de Aristóteles y de Galileo, ter­minaron por evitarlo. Ya en el siglo XIX los trabajos de varios matemáticos fueron preparando el camino para una mejor comprensión del infinito; hasta que, en el último cuarto del siglo, el originalísimo matemático alemán Georg Cantor domesticó el infinito. Partió de la definición de que dos conjuntos, finitos o infinitos, tienen el mismo número de elementos si existe una correspondencia uno a uno entre sus elementos y con ella desarrolló una teoría de números (cardinales) infinitos.

Las peculiaridades del infinito que tanto desconcertaron a muchas brillantes quedan explicadas con gran tino en el relato del hipotético hotel infinito descrito por el destacado matemático alemán David Hilbert.

Imaginémonos un hotel —el hotel Hilbert— con un número infinito de habitaciones, tantas como números naturales (los que usamos para contar: 1, 2, 3,...), de manera a cada habitación le corres­ponde un número único número y que todos los números son utilizados una sola vez para numerar las habita­ciones. En otras palabras: los conjuntos de números naturales y de habitaciones del hotel Hilbert están en correspondencia uno a uno. Imaginémonos que el hotel se encuentra totalmente ocupado y que llega entonces un nuevo huésped; el gerente en lugar de rechazarlo le dice que tiene habitaciones disponibles. ¿Qué hace el gerente? Solicita al huésped de la habitación número 1 que se pase a la número 2; al de la habitación número 2 que se pase a la 3; y en general al huésped de la habitación número n que se pase a la habitación número n + 1. De esa manera todos los huéspedes tienen una habitación y la habitación número 1 queda disponible para el nuevo huésped. Al día siguiente llega un grupo de cien nuevos huéspedes, y el gerente en lugar de rechazarlos les dice que tiene habita­ciones disponibles. ¿Qué hace el gerente? Solicita al huésped de la habitación número 1 que se pase a la número 101; al de la habitación número 2 que se pase a la número 102; y en general al de la habitación número nque se pase a la habitación n + 100. De esa manera todos los huéspedes que ocupaban habitación siguen teniendo habitación y las habitaciones con los números del uno al cien han quedado disponibles para los nuevos huéspedes. La desventaja de este hotel es que no es fácil descansar, porque cuando está lleno el gerente cambia a los huéspedes de habitación cada que llega uno nuevo.

El número de elementos o cardinal del conjunto de los números naturales se llama alef cero y se denota por À0. Cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales tendrá el mismo cardinal À0. Es el cardinal infinito más pequeño. Ahora volvamos a la pregunta con la que iniciamos. ¿Es cierto que hay números infinitos más grandes que otros? La respuesta la dio Cantor en 1873 y ésta es que sí: el conjunto de números reales (los que usamos para medir) que se encuentran entre 0 y 1, es decir, de todas la expansiones decimales infinitas de la forma 0.a1a2a3..., tiene una cardinalidad mayor que À0. Lo que hizo Cantor fue observar que si el conjunto mencionado de números reales se podía poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales, entonces, mediante un ingenioso argumento, conocido como el método diagonal, se podía construir un nuevo número real al que no le correspondía ningún número natural. Como esto contradecía la existencia de la correspondencia uno a uno, concluyó que el cardinal de los números reales entre cero y uno es mayor que À0.

Este resultado marca realmente el nacimiento de la Teoría de Conjuntos; fue en su momento sorprendente para el mundo matemático y produjo reacciones encontradas desde el rechazo absoluto hasta la aceptación exaltada. Con el paso del tiempo las pasiones se sosegaron y la Teoría de Conjuntos se volvió una herramienta usada por prácticamente todos los matemáticos de la actualidad.